Usikkerhed forklaret: Forstå et usikkerhedsbudget

For at forstå usikkerhedsberegninger og usikkerhedsbudgetter er det nødvendigt at vide, hvordan et kalibreringsresultat fremkommer. Vi har forklaret kalibreringsberegninger i denne artikel, som kan være relevant at læse, før du læser om usikkerhedsbudgetter.

Læs: Usikkerhed forklaret: Hvordan opnås et kalibreringsresultat?

Komponenter i et laboratoriums usikkerhedsbudget

Når et laboratorium arbejder med usikkerhedsbudgetter, skal det ikke kun evaluere faktorerne i formlen, men også forholde sig til en række antagelser, som er nødvendige for beregningen.

Ændringer i line pack

Først antager vi, at der ikke er nogen line pack. Det betyder, at der ikke sker ændringer i gasmængden mellem WS og MUT. For at dette kan være tilfældet, må der ikke være tryk- eller temperaturændringer mellem WS og MUT.

Lækage i systemet

Dernæst antager vi, at der ikke er lækage i systemet, som kan påvirke kalibreringsresultaterne. Kalibreringslaboratorier skal have procedurer, der sikrer sådanne antagelser, og som vurderer, om der er behov for at knytte en usikkerhed til antagelserne eller ej.

Drift / stabilitet

En anden vigtig antagelse handler om drift, som nogle gange også kaldes stabilitet. Dette er især vigtigt for fejlen på WS. Selvom WS er kalibreret med en usikkerhed på 0,10 %, skal den samlede usikkerhed for fejlen på WS også omfatte stabiliteten af WS. Hvis WS kalibreres hver tredje måned, findes der mange data, som kan understøtte antagelser om stabiliteten, fordi den kalibreres ofte. Den vil sandsynligvis heller ikke drive meget i løbet af tre måneder, og derfor kan driftusikkerheden sættes lavt.

Hos Force Technology kalibrerer vi WS hvert tredje år, men vi udfører forskellige kontrolaktiviteter mellem kalibreringerne for at sikre og overvåge stabiliteten af WS. Alligevel er driftusikkerheden for WS en af de væsentligste dele af den samlede usikkerhed ved kalibrering af en MUT. Denne driftusikkerhed skal også medregnes ved tryk- og temperaturmålinger, men den påvirker ikke den samlede usikkerhed væsentligt.

Kalibreringskurve

Endelig anvendes der for WS en kalibreringskurve eller -funktion, som er baseret på de fejl, der er fundet ved kalibreringen af WS. Fordi vi anvender en sådan kurve, tilføjes der en ekstra usikkerhed baseret på residualfejlene, som er forskellen mellem resultaterne fra kalibreringskurven og de faktiske kalibrerede resultater.

Læs mere: Usikkerhed forklaret – sådan beregnes laboratoriets CMC

Smarte metoder, som kalibreringslaboratorier kan anvende til at reducere kalibreringsusikkerheden

Artiklen Hvordan opnås et kalibreringsresultat? viste, hvordan et kalibreringsresultat kan beregnes.

En vigtig metode til at reducere usikkerheden ved kalibrering af en MUT er at anvende flere WS. De kalibrerede fejl for WS'erne er næsten 100 % korrelerede, og en 100 % korrelation øger usikkerheden. WS'ernes drift er derimod ikke korreleret. Ved at anvende flere WS kan usikkerheden derfor reduceres, dog aldrig til et niveau under den fælles usikkerhed, som WS'erne deler, fordi de har samme sporbarhed.

En anden metode vedrører måleudstyret. I forbindelse med trykmålinger handler det ikke om at reducere usikkerheden på de individuelle tryk, PMUT og PWS, men om at reducere usikkerheden på forholdet PMUT/PWS. Da tryktransmittere generelt har en relativt høj tilfældig usikkerhed sammenlignet med differenstryktransmittere, kan usikkerheden på denne størrelse reduceres ved at anvende en differenstryktransmitter mellem WS og MUT og kun måle det absolutte tryk ét af stederne. Hos Force Technology måles det absolutte tryk ved MUT.

I vores tilfælde gælder derfor:

Denne størrelse har en meget lav usikkerhed, fordi PMUT er den dominerende faktor i usikkerhedsberegningen. Vi har dermed gjort tæller og nævner korrelerede, hvilket reducerer den samlede usikkerhed.

For temperatur gælder det, at alle temperaturtransmittere til både WS og MUT kalibreres samtidig. En kalibreringsfejl vil derfor give den samme fejl for både MUT og WS. Det betyder, at usikkerheden ved kalibreringen af referencetemperaturen, som anvendes til at kalibrere temperaturtransmitterne for WS og MUT, har en ubetydelig indflydelse på usikkerheden ved kalibrering af en gasmåler. I den udvidede ligning for kalibreringsresultatet vil en sådan fejl nemlig påvirke både tælleren og nævneren på samme måde.

Kompressibilitetsfaktorerne

En anden faktor, der også skal tages højde for, er kompressibiliteten. Ifølge ISO 12213 har kompressibiliteten en usikkerhed på op til 0,10 %. Hvis denne usikkerhed blev anvendt for begge kompressibilitetsfaktorer i den udvidede ligning for kalibreringsresultatet, ville de være blandt de dominerende bidrag til den samlede usikkerhed.

Men ligesom for tryk og temperatur er det ikke kompressibilitetsfaktorerne og deres individuelle usikkerheder, der er afgørende, men usikkerheden på forholdet ZWS/ZMUT. Da gassammensætningen er den samme, og tryk og temperatur næsten er identiske, er det – ligesom ved trykmåling – den differentielle kompressibilitet, der er afgørende. Usikkerheden på denne størrelse er meget lav.

I praksis betyder det, at usikkerhedsbidragene fra tryk, temperatur og kompressibilitet til modelligningen i den udvidede ligning for kalibreringsresultatet i vid udstrækning ophæver hinanden, fordi de indgår både i tælleren og nævneren i modelligningen.

Nu hvor vi har gennemgået disse faktorer og set, hvordan deres bidrag til usikkerheden i modelligningen kan reduceres, er det tid til at se på slutproduktet: et usikkerhedsbudget.

Læs mere: Usikkerhed forklaret – Klasse 0,5-målere

Usikkerhedsbudgettet

På baggrund af dette kan vi nu anvende en udvidet ligning for usikkerhed:

Tabellen nedenfor opsummerer usikkerhedsbidragene fra de væsentligste faktorer, der påvirker usikkerheden hos Force Technology, når en MUT kalibreres ved hjælp af én WS. Usikkerhedsbidragene er baseret på typiske værdier for de størrelser, som forekommer i højtrykskalibreringslaboratorierne hos Force Technology.

Bemærk, at alle usikkerhederne i tabel 1 er standardusikkerheder, og at den samlede standardusikkerhed beregnes som kvadratroden af summen af de enkelte usikkerhedsbidrags kvadrater (root sum of squares). I tilfælde af line pack og lækage kan disse faktorer påvirke kalibreringsresultaterne og dermed usikkerheden ved lave flowhastigheder. Da tabellen ovenfor imidlertid omhandler kalibrering ved høje flowhastigheder (i forhold til kalibreringssløjfens størrelse), har disse faktorer kun ringe eller ingen indflydelse på kalibreringsresultaterne.

Som det fremgår af tabellen ovenfor, er de største bidrag til den samlede usikkerhed fejlene på arbejdsstandarden (WS), den tilladte drift samt kalibreringskurven.

Eksemplet ovenfor er relevant, når én WS anvendes til at kalibrere en MUT. Hvis vi i stedet ser på usikkerhedsbidragene, når flowet fordeles ligeligt mellem fire WS'er ved kalibrering af en MUT, vil den samlede påvirkning fra EWS være omtrent den samme, fordi fejlene på WS'erne er stærkt korrelerede. De tilfældige bidrag fra drift og kalibreringskurven fordeles derimod ligeligt mellem de fire WS'er, og det samlede usikkerhedsbidrag fra drift bliver derfor:

Det betyder, at bidraget til den kvadrerede usikkerhed reduceres med en faktor 4, mens det samlede bidrag fra drift reduceres med en faktor 2,7. Den samme metode kan anvendes til at vise, at bidraget fra kalibreringskurven reduceres med den samme faktor som driftbidraget. Når flere WS'er anvendes til at kalibrere en MUT, reduceres standardusikkerheden derfor til cirka 0,06.

Ved kalibrering antages usikkerheden normalt at følge en normalfordeling, og et kalibreringsresultat bør rapporteres med en udvidet usikkerhed (k = 2). Det betyder, at usikkerheden angives som to gange standardusikkerheden, hvilket svarer til et konfidensniveau på 95 %.

For eksemplet i tabel 1 betyder det, at UCMC = 2 × 0,0761 = 0,1522 %. Hvis et laboratorium rapporterer en fejl på y % med en usikkerhed på x %, er der derfor 95 % sandsynlighed for, at målerens faktiske fejl ligger mellem y − x % og y + x %.

Den samlede usikkerhed er en kombination af usikkerheden fra kalibreringsfaciliteten og usikkerheden eller repeterbarheden for MUT. MUT'ens repeterbarhed beregnes på baggrund af gentagne målinger. Jo flere målinger der udføres, desto lavere bliver usikkerheden på middelværdien af fejlen.

Der findes flere metoder til at beregne dette, men metoden nedenfor er baseret på den fremgangsmåde, der anvendes hos Force Technology.

Hvordan kan kalibreringslaboratorier verificere en usikkerhed?

Som for alle komplekse systemer skal usikkerhedsbudgettet verificeres på en eller anden måde. En praktisk og enkel metode er at gennemføre sammenligningsmålinger mellem laboratorier (inter-comparisons).

Inter-comparisons sikrer, at de antagelser, der er gjort om usikkerheden i kalibreringssystemet, er gyldige. Sammenligningerne gennemføres mellem mindst to laboratorier, hvor en MUT kalibreres hos de deltagende laboratorier inden for en kort periode, hvorefter resultaterne sammenlignes.

På baggrund af forskellene mellem laboratorierne og de usikkerheder, som laboratorierne rapporterer, er det muligt at verificere eller som minimum understøtte laboratoriernes usikkerhedsangivelser. Force Technology deltager hvert år i en lang række inter-comparisons. Mange af disse er officielle sammenligninger gennem EuReGa og EURAMET, mens andre er uformelle sammenligninger, som enten Force Technology eller andre deltagere tager initiativ til for at understøtte nye usikkerhedsangivelser eller fastholde de eksisterende.

Læs mere om kalibrering her

Symboler

Ligningerne i denne artikel anvender symboler, der følger den notation, som normalt benyttes i internationale standarder og tekniske dokumenter.

Tabel 2: Symboler og deres betydning.